irichc     Fecha  17/06/2002 17:21 
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Volver al foro Responder Frege. Análisis proposicional.   Admin: Borrar 	mensaje
 
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A la pregunta de qué es el número uno, o de qué denota el signo 1, se suele responder: pues una cosa. Y si se hace notar entonces que el enunciado

“el número uno es una cosa”

no es una definición, porque por un lado se halla el artículo determinado y al otro, el indeterminado, y que tal enunciado sólo expresa que el número uno pertenece a las cosas, pero no nos dice qué cosa es, entonces quizá quien nos ha formulado la pregunta nos invitará a que escojamos una cosa cualquiera, a la que decidamos llamar uno. Pero si todos tuviesen derecho a entender bajo ese nombre lo que quisieran, resultaría que el enunciado anterior sobre el uno se referiría a cosas distintas para distintas personas; no habría ningún contenido común a tales enunciados. Algunos rechazarán tal vez esta cuestión, señalando que tampoco puede especificarse el significado de la letra “a” en la aritmética; y si se dice: “a” se refiere a un número, se caería en el mismo error que en la definición: uno es una cosa. Ahora bien, rechazar la cuestión en el caso de “a” está totalmente justificado: no se refiere a ningún número determinado, especificable, sino que sirve para expresar la generalización de ciertos enunciados. Si en “a + a – a = a”, se sustituye a por un número cualquiera, por el mismo en todas partes, se obtiene siempre una ecuación verdadera. Es en este sentido que se utiliza la letra “a”. Pero en el caso del uno, en cambio, la cuestión aparece esencialmente distinta. En la ecuación “1 + 1 = 2”, ¿podemos acaso sustituir 1 las dos veces por el mismo objeto, la Luna, por ejemplo? Más bien parece que lo que sustituya al primer uno debe ser algo distinto de lo que sustituya al segundo. ¿Por qué razón tiene que ocurrir aquí precisamente lo que en otro caso sería un error? La aritmética no puede contentarse con la sola letra “a”, sino que tiene que utilizar además “b”, “c”, etc., para poder expresar con generalidad las relaciones entre diversos números. Así, pues, podría expresarse que el número 1 tampoco es suficiente, si es que sirve, de manera análoga, para proporcionar generalidad a los enunciados. ¿Pero no aparece el número 1 como objeto determinado, con propiedades especificables, por ejemplo, la de que no varía al ser multiplicado por sí mismo? De a, en cambio, no puede especificarse ninguna propiedad en este sentido; pues lo que se afirma de a es una propiedad común a los números, mientras que el “1=1” no afirma nada de la Luna, ni del Sol, ni del Sáhara, ni del Pico de Tenerife; en efecto, ¿qué sentido podría tener una afirmación semejante?

La mayoría de matemáticos tampoco dispondrán de una respuesta satisfactoria a tales preguntas. ¿Pero no es vergonzoso para la ciencia que se halle en este estado de confusión ante el objeto que más le atañe y que es, aparentemente, tan simple? Todavía menos podrá decirse lo que es el número. Cuando un concepto que está en la base de una gran ciencia ofrece dificultades, es, sin duda, tarea ineludible investigarlo detenidamente y superar estas dificultades, especialmente porque resultará difícil llegar a clarificar completamente los números negativos, quebrados o complejos, mientras siga siendo defectuosa la comprensión de los fundamentos del edificio de la aritmética.

Naturalmente, muchos considerarán que esto no merece dedicarle esfuerzo alguno. Este concepto está ya tratado suficientemente, opinan ellos, en los libros de texto elementales, en los cuales se despacha la cuestión para toda la vida. ¡Quién cree poder aprender algo todavía acerca de una cosa tan sencilla! Tan libre de dificultades se considera el concepto de número entero positivo que es posible explicarlo a los niños científica y exhaustivamente, y además cada uno está bien informado sobre él, sin ulterior reflexión y sin tener conocimiento de lo que otros han pensado. Resulta, por tanto, que falta aquí, totalmente, el primer requisito del aprender: el conocimiento de la ignorancia. La consecuencia es que la gente todavía se contenta con una concepción burda, si ya bien Herbart ha enseñado una concepción más correcta. Es lamentable y descorazonador que, de este modo, perdure la amenaza de la pérdida de un conocimiento que ya se había logrado, que tanto trabajo parezca así ser en vano, porque en el paraíso de los hombres ilustrados nos creamos que no es necesario asimilar los frutos de un conocimiento trabajosamente adquirido. También este trabajo, lo veo claro, está expuesto a semejante peligro. La vulgaridad de esta concepción se me hace patente cuando se describe el cálculo como pensamiento agregativo, mecánico. Dudo que exista tal pensamiento en absoluto. La imaginación agregativa podría, incluso, dejarse pasar; pero carece de significación para el cálculo. El pensamiento es, en lo esencial, lo mismo en todas partes: no pueden considerarse distintos tipos de leyes del pensamiento según el objeto a que se refieren. Las diferencias consisten solamente en la mayor o menor pureza e independencia de influencias psicológicas y de auxiliares externos del pensamiento, como lenguaje, signos numéricos y cosas parecidas, y quizá también en la precisión de la construcción de los conceptos; pero precisamente en este respecto pretende la matemática no ser superada por ninguna otra ciencia, ni siquiera por la filosofía.

De la presente obra podrá desprenderse que incluso una inferencia matemática aparentemente singular, como la que pasa de “n” a “n + 1”, se basa en las leyes lógicas universales, que no necesita, por tanto, de leyes particulares del pensamiento agregativo. Naturalmente, los signos numéricos pueden usarse mecánicamente, al igual que se puede hablar como un papagayo; pero apenas puede llamarse a esto pensamiento. Esto tan sólo es posible después de que el lenguaje simbólico matemático se ha constituido por medio del pensamiento, de modo que piense por nosotros, como a veces se dice. Esto no prueba que los números estén constituidos de una manera especialmente mecánica, como un montón de arena está formado por gránulos de cuarzo. Creo que es del interés de los matemáticos combatir una opinión semejante, encaminada a desacreditar un objeto fundamental de su ciencia y, con él, a la ciencia misma. Pero incluso entre los matemáticos hallamos declaraciones muy parecidas. Por el contrario, habrá que reconocer al concepto de número una estructura más fina que la de la mayoría de los conceptos de otras ciencias, si bien no es más que uno de los conceptos aritméticos más simples.

Y, para refutar la ilusión de que, con relación a los números enteros positivos no existe ninguna dificultad, sino que hay un acuerdo general, me ha parecido bien comentar algunas opiniones de filósofos y matemáticos sobre las cuestiones que aquí entran en consideración. Veremos cuán poco acuerdo puede hallarse, hasta el punto de que aparecen afirmaciones exactamente contrapuestas. Los unos dicen, por ejemplo: “las unidades son iguales entre sí”; los otros las consideran distintas, y las razones que ambos ofrecen para sus razones no pueden desestimarse sin más. Con esto trato de despertar el interés por una investigación más exacta. Al mismo tiempo, mediante el examen previo de las ideas manifestadas por otros, quiero preparar el terreno para mi propia concepción, para convencer de antemano de que esos otros caminos no llevan a la meta y de que mi opinión no es una más, entre otras muchas igualmente justificables; y con ello espero aclarar y definir definitivamente la cuestión, por lo menos en lo fundamental.

En consecuencia, mis argumentaciones serán, ciertamente, más filosóficas de lo que a muchos matemáticos puede parecerles adecuado; pero una investigación fundamental del concepto de número resultará siempre algo filosófica. Esta tarea es común a la matemática y a la filosofía.

Si la colaboración entre estas dos ciencias, a pesar de algunos intentos por ambas partes, no está tan desarrollada como sería de desear y como sería, sin duda, posible, radica esto, según creo, en el predominio de consideraciones psicológicas en filosofía, que penetran incluso en la lógica. Con esta orientación no tiene la matemática ningún punto de contacto, y por ello se explica fácilmente la aversión de muchos matemáticos a las consideraciones filosóficas. Cuando Stricker, por ejemplo, dice que las sensaciones de los números son motóricas, dependientes de sensaciones musculares, el matemático no puede reconocer ahí sus números y no sabe qué hacer con este enunciado. Una aritmética que estuviera basada en sensaciones musculares sería, ciertamente, muy sensitiva, pero resultaría tan confusa como su base. No, la aritmética no tiene nada que ver con las sensaciones. Tampoco con representaciones internas que se han formado a partir de las huellas de impresiones sensoriales anteriores. La vacilación e indeterminación que tienen en común todas estas formas contrasta fuertemente con la determinación y firmeza de los conceptos y objetos matemáticos. Ciertamente, puede ser útil examinar las imágenes que aparecen en el pensamiento matemático y ver sus cambios; pero que no se figure la psicología que va a poder aportar algo a la fundamentación de la aritmética. Al matemático en cuanto tal le son indiferentes estas representaciones internas, su nacimiento y su modificación. El propio Stricker dice que, con la palabra “cien”, no se imagina nada más que el signo 100. Otros pueden imaginarse la letra C o cualquier otra cosa; ¿no se desprende de ello que estas representaciones internas son, en nuestro caso, completamente indiferentes y casuales para lo esencial de la cuestión, tan casuales como una pizarra negra y un pedazo de tiza, y que no merecen, pues, ser calificadas de imágenes del número cien? ¡Lo esencial del problema no puede encontrarse en tales imágenes! No hay que tomar por definición la descripción de cómo surge una imagen, ni hay que considerar que la indicación de las condiciones mentales y corporales, para hacernos conscientes de un enunciado, constituyen su demostración, ni tampoco confundir el acto de pensar un enunciado con su verdad. Parece que hay que recordar que un enunciado no deja de ser verdadero cuando yo dejo de pensar en él, como el sol no es aniquilado cuando yo cierro los ojos. De lo contrario, acabaremos por considerar necesario que, en la demostración del teorema de Pitágoras, se tenga en cuenta el fósforo que contiene nuestro cerebro; y los astrónomos temerán extender sus conclusiones a épocas muy remotas, por miedo a que se les objete: “Estas calculando aquí 2 . 2 = 4; pero la imagen numérica tiene una evolución, una historia. ¿Cómo sabes tú que en esa época pasada ya valía ese enunciado? ¿No pudieron tener los seres entonces vivientes el enunciado 2 . 2 = 5, del cual sólo por selección natural en la lucha por la existencia se desarrolló el enunciado 2. 2 = 4, el cual, a su vez, está destinado a transformarse, por el mismo camino, en 2 . 2 = 3?”. Est modus in rebus, sunt certi denique fines! El modo de consideración histórico, que trata de detectar el devenir de las cosas y de descubrir su esencia a partir de su devenir, tiene, sin duda, una gran justificación; pero también tiene sus límites. Si en el flujo continuo de todas las cosas no persistiera nada firme, eterno, desaparecería la inteligibilidad del mundo y todo se precipitaría en la confusión. Parece que algunos piensan que los conceptos nacen en el alma individual como las hojas en los árboles, y creen que pueden averiguar su esencia investigando su surgimiento y tratando de explicarlo psicológicamente a partir de la naturaleza del alma humana. Pero esta concepción lo aboca todo a lo subjetivo y, si se prosigue hasta el fin, suprime la verdad. Lo que se llama historia de los conceptos es o bien una historia de nuestro conocimiento de los conceptos, o bien de los significados de las palabras. Es frecuente que sólo a través de una gran labor intelectual, que puede durar siglos enteros, se consiga conocer un concepto en su pureza, despojándolo de envolturas extrañas que le escondían al ojo de la mente. ¡Qué puede decírsele a alguien que, en vez de proseguir esta labor en el punto en el que aparece inacabada, considera que ésta no vale nada, se va al cuarto de los niños o evoca los estadios evolutivos de la humanidad más antiguos imaginables, para descubrir allí, como hace J. St. Mill, una aritmética de tarta de nueces o de guijarros! Sólo falta atribuir al sabor de la tarta una significación especial para el concepto de número. Pero esto es lo exactamente opuesto a un procedimiento racional y, en todo caso, no puede ser más antimatemático. ¡No es de extrañar que los matemáticos no quieran saber nada de todo esto! En vez de hallar una pureza especial de los conceptos allí donde parece estar más cerca su origen, todo se ve confuso e indiferenciado, como a través de la niebla. Es como si alguien, para conocer bien América, quisiera retrotraerse a la situación de Colón cuando, por primera vez, vislumbró vagamente su supuesta India. Naturalmente, esta comparación no prueba nada; pero espero que aclare mi opinión. Puede muy bien ser que la historia de los descubrimientos sea en muchos casos útil para preparar investigaciones posteriores; pero no debe tratar de sustituir a estas últimas.

Respecto al matemático, apenas habría sido necesario combatir tales concepciones; pero dado que yo también quería solventar en lo posible para los filósofos las cuestiones discutidas, me he visto obligado a inmiscuirme un poco en la psicología, aunque sólo sea para rechazar su invasión en las matemáticas.

Por lo demás, también en libros de texto matemáticos aparecen expresiones psicológicas. Cuando uno se siente en el deber de dar una definición sin poder darla, se intenta entonces describir por lo menos la manera cómo se llega al objeto o concepto en cuestión. Este tipo de casos se detectan fácilmente por el hecho de que en el curso posterior de la exposición nunca más se vuelve a echar mano de tal explicación. Para fines didácticos, una introducción en el asunto es muy pertinente; sólo que habría que distinguirla siempre claramente de una definición. También los matemáticos pueden confundir los argumentos de una prueba con condiciones internas o externas de la realización de la misma; un ejemplo divertido de esto lo proporciona E. Schröder, cuando, bajo el encabezamiento de “axioma único”, nos ofrece lo siguiente: “El principio en el que estoy pensando podría bien llamarse axioma de la adherencia de los signos... Nos da la seguridad de que en todas nuestras argumentaciones y deducciones, los signos permanecen en nuestra memoria –o aún más firmemente sobre el papel, etc.”

Ahora bien, si las matemáticas no deben admitir ningún auxilio por parte de la psicología, en cambio, no pueden negar su estrecha conexión con la lógica. Estoy de acuerdo incluso con la opinión de aquellos que consideran inviable una separación tajante entre ambas. Por lo menos hay que admitir que cualquier examen del carácter concluyente de una demostración o de la justificación de una definición tiene que discurrir según la lógica. Tales cuestiones, empero, no pueden ser eliminadas de la matemática, ya que sólo respondiendo a ellas puede alcanzarse la seguridad necesaria.

También en esta investigación voy ciertamente algo más allá de lo usual. En investigaciones de este tipo, la mayoría de matemáticos quedan contentos cuando han satisfecho sus necesidades más inmediatas. Cuando una definición se presta a intervenir en demostraciones, cuando nunca da lugar a contradicciones, cuando por medio de ella se pueden establecer conexiones entre cosas aparentemente dispares, resultando así un orden y una regularidad superiores, entonces se suele considerar la definición suficientemente segura y se hacen pocas preguntas sobre su justificación lógica. Lo bueno de este procedimiento, en todo caso, es que hace difícil perder el hilo. También yo creo que las definiciones deben ser garantizadas por su fertilidad, por la posibilidad de hacer demostraciones con ellas. Pero hay que tener en cuenta que el rigor de la demostración sigue siendo una ilusión, aunque tengamos todos los eslabones de la deducción, si las definiciones sólo se justifican posteriormente por el hecho de que no se haya chocado con ninguna contradicción. De este modo, en definitiva, sólo se ha conseguido una seguridad empírica y, en realidad, hay que tener en cuenta la posibilidad de encontrar al final una contradicción que derrumbe el edificio entero. Por eso he creído que debía retroceder hasta los fundamentos lógicos generales, más de lo que quizá la mayoría de los matemáticos considera necesario.

En esta investigación me mantendré en los siguientes principios fundamentales:

hay que separar tajantemente lo psicológico de lo lógico, lo subjetivo de lo objetivo;
el significado de las palabras debe ser buscado en el contexto de todo el enunciado, nunca en las palabras aisladas;
hay que tener siempre presente la diferencia entre concepto y objeto.

Para seguir el primer principio, he empleado la palabra “imagen” siempre en sentido psicológico, y he distinguido las imágenes de los conceptos y los objetos. Si no se tiene en cuenta el segundo principio, uno se ve casi forzado a tomar por significados de las palabras representaciones internas o actos de la mente individual, con lo cual también se entra en conflicto con el primer principio. Por lo que respecta al tercer punto, es sólo una ilusión el creer que se puede hacer de un concepto un objeto, sin modificarlo. En esta obra sólo podré indicar cómo pienso perfeccionar esta teoría. De lo que se trata en todos estos casos, lo mismo que para los números enteros positivos, es de fijar el sentido de una ecuación.

Creo que mis resultados obtendrán, por lo menos en lo fundamental, la aprobación de los matemáticos que acepten el trabajo de tomar en consideración mis razones. Éstas me parece que están en el aire y todas ellas, o por lo menos otras muy parecidas, han sido quizá manifestadas ya, cada una por separado; pero relacionadas entre sí, puede que aparezcan como nuevas. A veces me he asombrado de que exposiciones que en un punto se acercan mucho a mi concepción, en otros, en cambio, se aparten tan radicalmente.

La aceptación, por parte de los filósofos, será diversa según los punto de vista; la peor, seguramente, vendrá de parte de aquellos empiristas que sólo estarán dispuestos a admitir como modo de inferencia originario la inducción, y a ésta ni siquiera como modo de inferencia, sino como hábito. Quizá alguno aproveche esta ocasión para someter a una nueva prueba los fundamentos de su teoría del conocimiento. A aquellos a quienes mis definiciones pueden parecer antinaturales, les querría recordar que de lo que aquí se trata no es de si son naturales, sino de si llegan al núcleo de la cuestión y de si son lógicamente irreprochables.

Me permito tener la esperanza de que, después de un examen sin prejuicios, también los filósofos hallarán alguna utilidad en este escrito.

Frege. Fundamentos de la aritmética.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                
 

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