irichc     Fecha  13/09/2003 05:26 
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Volver al foro Responder Wittgenstein contra Russell. Sobre verdad, demostrabilidad y contradicción   Admin: Borrar 	mensaje
 
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1. Es fácil imaginarse un lenguaje en el que no haya forma interrogativa ni forma imperativa, sino que la pregunta y la orden se expresen en forma enunciativa, por ejemplo, en formas correspondientes a nuestra: "me gustaría saber si..." y "mi deseo es que...".

Nadie diría de una pregunta (por ejemplo, respecto a si llueve fuera) que es verdadera o falsa. Pero, ciertamente, en castellano se dice eso de una proposición como "desearía saber si...". ¿Y si se empleara siempre esa forma en lugar de la interrogación?

2. La gran mayoría de las proposiciones que decimos, escribimos o leemos son proposiciones enunciativas.

Y -dices- estas proposiciones son verdaderas o falsas. O, como yo podría decir también, con ellas se juega al juego de las funciones de verdad. Pues el aserto no es algo que se añada a la proposición, sino un rasgo esencial del juego que jugamos con ella. Comparable, digamos, a lo característico del ajedrez, que hay en él un ganar y un perder y que gana quien como al otro el rey. Ciertamente podría haber un juego muy parecido, en determinado sentido, al ajedrez, un juego que consistiera en realizar los movimientos del ajedrez pero sin que hubiera en ello un ganar y un perder, o las condiciones del ganar fueran otras.

3. Imagina que alguien dice: una orden se compone de una propuesta ('suposición') y del ordenar lo propuesto.

4. ¿No podría ejercerse la aritmética sin que se le ocurriera a uno la idea de pronunciar proposiciones aritméticas y sin que advirtiéramos jamás la semejanza de una multiplicación con una proposición?

Pero ¿no menearíamos la cabeza cuando alguien nos mostrara una multiplicación mal hecha, como lo hacemos cuando alguien nos dice que llueve cuando no llueve? - Sí; y aquí hay un punto de conexión. Pero también hacemos gestos recriminantes cuando, por ejemplo, nuestro perro no se comporta como queremos.

Estamos acostumbrados a decir "2 por dos son 4" y el verbo "son" hace de ello una proposición y establece aparentemente un parentesco próximo con todo lo que llamamos 'proposición'. Mientras que se trata sólo de una relación muy superficial.

5. ¿Hay proposiciones verdaderas en el sistema de Russell, que no pueden ser demostradas en él? - ¿A qué se llama, entonces, proposición verdadera en el sistema de Russell?

6. ¿Qué significa, pues, que una proposición 'es verdadera'? 'p' es verdadera = p (Esta es la respuesta.)

Así pues, nos gustaría preguntar: ¿bajo qué circunstancias se afirma una proposición? O: ¿cómo se usa en el juego de lenguaje la afirmación de una proposición? Y la 'afirmación de una proposición' es aquí algo opuesto a la pronunciación de una proposición como ejercicio práctico de lenguaje, por ejemplo, o como parte de otra proposición, o cosas semejantes.

Por tanto, si se pregunta en este sentido: "¿Bajo qué circunstancias se afirma una proposición en el juego de Russell?", la respuesta es: Al final de una de sus demostraciones, o como 'ley fundamental' (Pp.). No hay otro modo de usar en este sistema proposiciones enunciativas del simbolismo de Russell.

7. Pero ¿no puede haber proposiciones verdaderas, que estén escritas en ese simbolismo, pero que no sean demostrables en el sistema de Russell?" - 'Proposiciones verdaderas' son, pues, proposiciones que son verdaderas en otro sistema, es decir, que pueden ser afirmadas con derecho en otro juego. Ciertamente, ¿por qué no puede haber proposiciones así? O más bien: ¿por qué no han de escribirse proposiciones -de física, por ejemplo- en el simbolismo de Russell? La pregunta es del todo análoga a ésta: ¿Puede haber proposiciones verdaderas en el lenguaje de Euclides, que no sean demostrables en su sistema, pero sean verdaderas? - Pero hay incluso proposiciones que son demostrables en el sistema de Euclides pero falsas en otro sistema. ¿No puede haber triángulos -en otro sistema- que sean semejantes (muy semejantes) sin tener ángulos iguales? - "¡Pero esto es una broma! ¡Puesto que en ese caso no son 'semejantes' en el mismo sentido!". - Ciertamente no; y una proposición que no puede demostrarse en el sistema de Russell es 'verdadera' o 'falsa' en otro sentido que una proposición de los Principia Mathematica.

8. Me imagino que alguien me pidiera consejo; dice: "He construido una proposición (la designaré por 'P') en el simbolismo de Russell y mediante ciertas definiciones y transformaciones se la puede interpretar de modo que diga: 'P no es demostrable en el sistema de Russell'. ¿No he de decir ahora de esa proposición que, por una parte, es verdadera, mientras que, por otra, es indemostrable? Pues, suponiendo que fuera falsa, ¡entonces es verdad que es demostrable! Y esto no puede ser. Y si está demostrada, entonces está demostrado que ella no es demostrable. De modo que no puede ser más que verdadera pero indemostrable".

Igual que preguntamos: "¿en qué sistema 'demostrable'?", hemos también de preguntar: "¿en qué sistema 'verdadera'?". 'Verdadera en el sistema de Russell' significa, como se ha dicho: demostrada en el sistema de Russell; y 'falsa en el sistema de Russell' quiere decir: lo contrario está demostrado en el sistema de Russell. - ¿Qué significa ahora tu: "supuesto que sea falsa"? En el sentido de Russell significa: 'supuesto que en el sistema de Russell esté demostrado lo contrario'; si ésta es tu suposición, renunciarás ahora a tu interpretación de que es indemostrable. Y bajo 'esa interpretación' entiendo la traducción a esa proposición castellana. - Si supones que la proposición es demostrable en el sistema de Russel, entonces es verdadera en el sentido de Russell y hay que volver a rechazar la interpretación "P no es demostrable". Si supones que la proposición es verdadera en el sentido de Russell, entonces se sigue lo mismo. También: no contradice que la proposición sea falsa, en otro sentido que en el de Russell, el que esté demostrada en el sistema de Russell. (Lo que en el ajedrez significa "perder", puede ser en otro juego ganar).

9. ¿Qué significa, pues, P y "P es indemostrable" son la misma proposición? Significa que esas dos proposiciones castellanas tienen una expresión en tal y tal notación.

10. "Pero P no puede ser demostrable, puesto que, suponiendo que estuviera demostrada, estaría demostrada la proposición que dice de ella que no es demostrable". Pero si ello estuviera demostrado, o si yo creyera -quizá por error- que lo había demostrado, ¿por qué no había de dejar valer la demostración y decir que tenía que volver a retirar mi interpretación de "indemostrable"?

11. Supongamos que demuestro la indemostrabilidad (en el sentido de Russell) de P; entonces, con esa demostración he demostrado P. Y si esa demostración fuera tal en el sistema de Russell, entonces habría demostrado al mismo tiempo su pertenencia y su no pertenencia al sistema de Russell. -Eso sucede por construir tales proposiciones. - ¡Pero aquí hay, ciertamente, una contradicción! Bien, entonces hay aquí una contradicción. ¿Importa algo?

12. ¿Importa la contradicción que surge cuando alguien dice: "Miento. - Por tanto no miento. - Por tanto miento, etc."? Quiero decir: ¿es nuestro lenguaje menos utilizable porque en ese caso, de una proposición pueda seguirse, según las reglas habituales, su contrario y viceversa? - La proposición misma es inutilizable e igualmente esa deducción; pero ¿por qué no hay que hacerlo? ¡Se trata de un arte poco lucrativo! - Es un juego de lenguaje que guarda semejanza con el juego de coger el pulgar.

13. Una contradicción tal alcanza interés sólo porque ha preocupado a ciertos seres humanos y muestra, por ello, cómo pueden surgir del lenguaje problemas preocupantes; y qué clase de cosas pueden preocuparnos.

14. Una demostración de la indemostrabilidad es casi una demostración geométrica; una demostración referente a la geometría de las demostraciones. Del todo análoga a una demostración de que tal y tal construcción no es realizable con compás y regla. Una demostración así contiene un elemento de predicción, un elemento físico. Puesto que a consecuencia de esa demostración decimos a una persona: "No te esfuerces en encontrar una construcción (de la trisección del ángulo, por ejemplo), puede demostrarse que no es posible". Esto requiere decir: es esencial que la prueba de la indemostrabilidad sea capaz de ser aplicada de ese modo. Ha de ser para nosotros -podría decirse- una razón terminante abandonar la búsqueda de una demostración (esto es, de una construcción de tal y tal tipo).

Una contradicción es inutilizable como predicción de ese tipo.

15. Llamar a algo, con razón, la proposición "X es indemostrable" depende de cómo demostremos esa proposición. Sólo la demostración muestra qué es lo que cuenta como criterio de demostrabilidad. La demostración es una parte del sistema de operaciones, del juego, en el que la proposición es usada, y nos muestra su 'sentido'.

La cuestión es, pues, si la 'demostración de la indemostrabilidad de P' es aquí una razón terminante para suponer que no se encontrará una demostración de P.

16. La proposición "P es indemostrable" después de ser demostrada tiene un sentido diferente a antes.

Si está demostrada es la figura terminal de la demostración de indemostrabilidad. - Si no está demostrada, entonces no está claro aún qué ha de contar como criterio de su verdad, y su sentido -puede decirse- está velado todavía.

17. ¿Cómo he de suponer que P está demostrada? ¿Mediante una demostración de indemostrabilidad? ¿O de otra manera? Supón que mediante una demostración de indemostrabilidad. ¡Ahora, para ver lo que está demostrado, mira a la demostración! Quizá esté demostrado aquí que tal y tal forma de la demostración no conduce a P. - O bien, supón que P está demostrada de modo directo -como yo diría en este caso-, entonces se sigue la proposición "P es indemostrable" y tiene que mostrarse ahora cómo esa interpretación de los símbolos de P colisiona con el hecho de la demostración y por qué hay que abandonarla aquí.

Pero supongamos que no P esté demostrada. - ¿Cómo demostrada? Quizá porque P está demostrada directamente, ya que de ahí se sigue que ello es demostrable y, por tanto, no-P. ¿Qué he de decir ahora: "P" o "no-P"? ¿Por qué no ambas? Si alguien me pregunta: "¿Qué es el caso, P o no-P?", contesto: P está al final de una demostración russelliana, por eso escribes en el sistema russelliano: P; pero, por otra parte, es demostrable, y esto se expresa mediante no-P, pero esa proposición no está al final de una demostración russelliana, no pertenece, por tanto, al sistema russelliano. - Cuando a P se le dio la interpretación "P es indemostrable" no se conocía esa demostración de P y no puede decirse, por tanto, que P dice: esta demostración no existe. - Si se ha construido la demostración, con ello se ha creado también una nueva situación: y ahora hemos de decidir si queremos llamar a esto una demostración (una demostración más) o si queremos llamar a esto todavía el enunciado de la indemostrabilidad.

Supongamos que no-P esté directamente demostrada; ¡está demostrado, entonces, que P puede demostrarse directamente! Se trata de nuevo, por tanto, de una cuestión de interpretación -a menos que tengamos ahora una demostración directa de P-. Si fuera así, bueno, sería así.

(La veneración y el miedo supersticioso de los matemáticos ante la contradicción).

18. "¡Pero supongamos que la proposición fuera falsa, y por ello indemostrable!" - ¿Por qué la llamas 'falsa'? ¿Porque ves una demostración? - ¿O por otros motivos? Entonces no importa. Puede muy bien llamarse falso al principio de contradicción fundándose, por ejemplo, en que muy a menudo contestamos con buen sentido a una pregunta: "sí y no". Y lo mismo para la proposición 'no no p = p': porque usamos la doble negación como un refuerzo de la negación y no sólo como su supresión.

19. Dices: "por lo tanto, P es verdadera e indemostrable". Esto quiere decir seguramente: "Por tanto, P". Por mí está bien, pero ¿con qué fin escribes esa 'afirmación'? (Es como si alguien, de ciertos principios sobre formas naturales y estilo arquitectónico, hubiera inferido que en la cima del monte Everest, donde nadie puede vivir, debería haber un palacete de estilo barroco). ¿Y cómo podrías hacerme plausible la verdad de la afirmación, ya que no puedes usarla para nada más que para esa monería?

20. Ha de recordarse aquí que las proposiciones de la lógica están construidas de modo que como información no tienen ninguna aplicación en la práctica. Por eso muy bien podría decirse que no son proposiciones en absoluto; y que necesita justificarse incluso el mero hecho de escribirlas. Y si a esas 'proposiciones' se les añade ahora una estructura para-proposicional de otro tipo, entonces es cuando está oscuro de verdad qué clase de aplicación, qué clase de sentido, ha de tener ahora ese sistema de combinaciones de signos, puesto que el mero tono proposicional de esas conexiones de signos no les proporciona ya un significado.

L. Wittgenstein. Observaciones sobre los fundamentos de la matemática. Parte I. Apéndice III.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                
 

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